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Arte con nombre matemático

February 22nd, 2005 February 22nd, 2005
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¿Que son los fractales? Definicion según “Wikipedia”

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fractal fue propuesto por Benoît Mandelbrot en 1975 para describir estos objetos. En muchos casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura. Aunque muchas estructuras naturales tienen estructuras de tipo fractal un fractal matemático es un objeto que tiene por lo menos una de las siguientes características: tiene detalle en escalas arbitrariamente grandes o pequeñas, es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales, tiene auto-similitud exacta o estadística, su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica, o es definido recursivamente.

El problema con cualquier definición de un fractal es que existen objetos que uno quisiera llamar fractal, pero que no satisfacen todas las propiedades anteriores.

Por ejemplo, fractales de la naturaleza, como nubes, montañas, y vasos sanguíneos, tienen limites inferiores y superiores en detalle; no existe un término preciso para “demasiado irregular”; existen diferentes maneras para definir “dimensión” con valores racionales; y no todo fractal es definido recursivamente.

Los fractales estocásticos están relacionados con la teoría del caos.

Los fractales pueden ser divididos en tres amplias categorías:

1. Sistema iterado de funciones Estos tienen una regla de punto fijo geométrico. Ejemplos: conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, curva de Peano, copo de nieve de Koch, curva del dragón.
2. Los fractales definidos por una relación de recurrencia en cada punto de un espacio (como el plano complejo). Un ejemplo es el Conjunto de Mandelbrot o el Conjunto de Julia.
3. Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos. Por ejemplo: Paisajes fractales.

Los fractales aleatorios tienen una gran aplicación practica, usándolos para describir varios objetos muy irregulares del mundo real. Ejemplos son las nubes, montañas, turbulencia, costas y árboles.

Técnicas de fractales han sido utilizadas en la compresión de datos, así como en una variedad de disciplinas científicas.

También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.

Intuitivamente. Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas mas sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catastrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades mas complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la ramíta de la que forman parte, que a su vez presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja). Pero además las formas fractales (desde esta concepción intuitiva) no solo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos. Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad mas compleja)que a su vez forman parte de ciclos mas complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que …. y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

Desde hace 25 años, un colectivo importante de ingenieros, físicos y matemáticos (posiblemente en este orden) han reconocido la necesidad de complementar los modelos euclidianos con nuevos esquemas geométricos. En efecto, en la Naturaleza se encuentran objetos para los que la autosemejanza resulta un instrumento de modelización útil y para los que los conceptos de dimensión basados en números enteros positivos no describen de manera convincente su modelo de ocupación del espacio. Concretamente, esto sucede sucede cuando se desea caracterizar muchas estructuras en Biología y Medicina. Un ejemplo: Un modelo geométrico para un árbol centenario. En informática, mas concretamente los plugins de visualización que usamos en el Winamp (o usáis los que tenéis un procesador que soporte la tarea de ir generando fractales).

Me imagino que después de leer esto, la opinión generalizada es: Sigo igual que hace 5 minutos. Bien, entonces intentaré que comencéis a interesaros por ellos mostrandóos las aplicaciones artísticas, ya no matemáticas, que pueden obtenerse de un fractal.



La geometría fractal cambiará su visión de las cosas […]
Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de las nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas.
Nunca volverá a recuperar la interpretación de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares.

Michael F. Bamsley
“Fractals Everywhere”

Java

December 26th, 2004 December 26th, 2004
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Unos pequeños ejemplos de applets no-prácticos. La única decisión de ir mostrándolos es que posiblemente mi motivación para seguir haciéndolos en mi tiempo libre aumente, y recordemos que la motivación para un auto-didacta es el 90% de su éxito o de su fracaso. Los applets son:

1.-Contabiliza
los procesos standard a los que invoca el applet durante su ejecución
2.-Uso del método getParameter() para leer variables declaradas en HTML e implementarlas en el applet
3.-Uso de las enumeraciones.
4.-Demostración del uso de las librerías de localización